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By Parshin Shafarevich

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In algebraic topology a few classical invariants - similar to Betti numbers and Reidemeister torsion - are outlined for compact areas and finite team activities. they are often generalized utilizing von Neumann algebras and their lines, and utilized additionally to non-compact areas and countless teams. those new L2-invariants include very attention-grabbing and novel details and will be utilized to difficulties coming up in topology, K-Theory, differential geometry, non-commutative geometry and spectral thought.

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25 Jede Gerade g, die das Innere einer beschränkten konvexen Kurve c trifft, schneidet c in genau zwei Punkten. Aufgrund der Definition einer konvexen Menge ist es klar, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen wieder eine konvexe Menge ist. Somit ist der Durchschnitt der (konvexen) Geraden g mit dem von c berandeten konvexen Bereich B eine konvexe und beschränkte Teilmenge von g, also eine Strecke PQ (siehe Abb. 25). Wir zeigen nun, dass außer den Endpunkten P; Q alle Punkte der Strecke zum Inneren der Kurve gehören.

14 vergleichbare Aussage gilt auch für Berührkreise (siehe Abb. 12). k C M k2 A B M1 k1 Abb. 15 (i) Berührt ein Kreis k (Mittelpunkt M ) zwei Kreise k1 ; k2 (mit Mittelpunkten M1 ; M2 ) in Punkten A und B, so geht die Gerade AB durch ein Ähnlichkeitszentrum der beiden Kreise. (ii) Liegen die Punkte A; B zweier Kreise k1 ; k2 (mit Mittelpunkten M1 ; M2 ) auf einer Geraden durch ein Ähnlichkeitszentrum dieser Kreise und sind die Geraden M1 A; M2 B nicht parallel, so gibt es einen Kreis, der die beiden Kreise in den Punkten A; B berührt.

5 Orthogonaler Kreis Ist k ein Kreis um M mit Radius r, der die gegebenen Kreise in Punkten S1 ; S2 senkrecht schneidet, so gilt nach dem Satz des Pythagoras (man betrachte in Abb. M; M2 / r22 : ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Also liegt M auf der Potenzgeraden. Liegt umgekehrt M auf der Potenzgeraden, so erhält man einen senkrecht schneidenden Kreis genau dann, wenn man den Radius r gemäß obiger Gleichung wählt. M; M2 / r22 > 0) gilt. Um einen Kreis gemäß (iii) zu bekommen, schneiden wir das im Punkt M errichtete Lot der Geraden MM 1 mit dem Kreis k1 .

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